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趣味数学:海盗分金问题


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关键字:海盗分金问题 2006-9-1

 
趣味数学:海盗分金问题

  海盗,大家听说过吧。这是一帮亡命之徒,在海上抢人钱财,夺人性命,干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中,他们一般都瞎一只眼,用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩把坏眼遮上。他们还有在地下埋宝的好习惯,而且总要画上一张藏宝图,以方便后人掘取。不过大家是否知道,他们是世界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不驯的汉子,是不愿听人命令的,船上平时一切事都由投票解决。船长的唯一特权,是有自己的一套餐具——可是在他不用时,其他海盗是可以借来用的。船上的唯一惩罚,就是被丢到海里去喂鱼。

  现在船上有若干个海盗,要分抢来的若干枚金币。自然,这样的问题他们是由投票来解决的。投票的规则如下:先由最凶猛的海盗来提出分配方案,然后大家一人一票表决,如果有50%或以上的海盗同意这个方案,那么就以此方案分配,如果少于50%的海盗同意,那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼,然后由剩下的海盗中最凶猛的那个海盗提出方案,依此类推。

  我们先要对海盗们作一些假设。

  1)每个海盗的凶猛性都不同,而且所有海盗都知道别人的凶猛性,也就是说,每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外,每个海盗的数学和逻辑都很好,而且很理智。最后,海盗间私底下的交易是不存在的,因为海盗除了自己谁都不相信。

  2)一枚金币是不能被分割的,不可以你半枚我半枚。

  3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼,这是最重要的。

  4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。

  5)每个海盗都是现实主义者,如果在一个方案中他得到了1枚金币,而下一个方案中,他有两种可能,一种得到许多金币,一种得不到金币,他会同意目前这个方案,而不会有侥幸心理。总而言之,他们相信二鸟在林,不如一鸟在手。

  6)最后,每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下,他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。


  现在,如果有10个海盗要分100枚金币,将会怎样?

  要解决这类问题,我们总是从最后的情形向后推,这样我们就知道在最后这一步中什么是好的和坏的决定。然后运用这个知识,我们就可以得到最后第二步应该作怎样的决定,等等。要是直接就从开始入手解决问题,我们就很容易被这样的问题挡住去路:“要是我作这样的决定,下面一个海盗会怎么做?”

  以这个思路,先考虑只有2个海盗的情况(所有其他的海盗都已经被丢到海里去喂鱼了)。记他们为P1和P2,其中P2比较凶猛。P2的最佳方案当然是:他自己得100枚金币,P1得0枚。投票时他自己的一票就足够50%了。

  往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道——P3知道他知道——如果P3的方案被否决了,游戏就会只由P1和P2来继续,而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道,只要给P1一点点甜头,P1就会同意他的方案(当然,如果不给P1一点甜头,反正什么也得不到,P1宁可投票让P3去喂鱼)。所以P3的最佳方案是:P1得1枚,P2什么也得不到,P3得99枚。

  P4的情况差不多。他只要得两票就可以了,给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案,因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴,于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币,自己留下98枚。

  依此类推,P10的最佳方案是:他自己得96枚,给每一个在P9方案中什么也得不到的P2,P4,P6和P8一枚金币。

  下面是以上推理的一个表(Y表示同意,N表示反对):

  P1  P2
  0  100
  N  Y

  P1  P2 P3
  1  0  99
  Y  N  Y

  P1  P2  P3  P4
  0  1   0  99
  N  Y   N  Y

  P1 P2  P3  P4  P5
  1  0  1  0  98
  Y  N  Y  N  Y

  ……

  P1  P2  P3  P4  P5  P6  P7  P8  P9  P10
  0   1  0  1  0  1   0  1  0  96
  N   Y  N  Y  N  Y   N  Y  N  Y

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