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数学另一面:猜想和发现


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关键字:数学 2006-9-1

 
  创造,在数学学习中意味着什么?许多教师认为,学生不可能有“本质”的创造,他们在数学上的“创造”就是一题多解。张思明却不这样看,他说:“学生学习数学是一个有指导的再创造过程。数学学习的本质是学生的再创造。相对于数学家的创造来说,学生的创造大体上是一种相对于他们的已知世界和旧有知识体系的自主地拓展、开掘和再创造的工作,它应该或尽量由学生相对独立地去完成。”为了发展学生的创新精神和实践能力,教师应该关注学生建构知识的过程,努力挖掘创新点,给学生提供充分的再创造机会。

  众所周知,把立体几何平面化,把多维问题降维,是解决立体几何问题的基本思路。如何将这种方法教给学生呢?张思明在黑板上画出两种图形,左边是已学过的正三角形,右边是还未学过的正四面体。他请学生观察它们的异同,并且根据正三角形的性质猜测正四面体的性质。学生们通过观察,对平面图形与立体图形的异同有了直观认识,经过讨论,得出了正四面体的一些性质(见下图):

  问题并没有到此结束,张思明又启发学生,让他们自己找一找比较类似的平面图形和立体图形,并且按照上面的方法找出立体图形的性质。这个问题具有开放性,学生们找出了很多图形来进行对比:直角三角形和特殊三棱锥(墙旮旯)、一般三角形和一般三棱锥、正方形和正方体、矩形和长方体、平行四边形和平行六面体、圆和球、扇形和球扇形。对于这些图形,张思明指导学生先从平面到立体进行类比的联想、猜测,找出哪些性质可以由平面“自然”迁移到立体;再引导他们逆向思考,看看是否有立体图形成立而平面图形不成立的性质。随着问题的逐步深入和难度的逐渐加深,学生慢慢掌握了从平面几何到立体几何“合情推理”的方法,他们的智力潜能以及探求科学真理的勇气也被充分地调动起来。

  匈牙利数学家波利亚说过:“数学有两个侧面,一方面它是欧几里得式的严谨科学,从这方面看,数学像是一门系统的演绎科学;但另一方面,创造过程中的数学看起来像是一门试验性的归纳科学。”传统的数学教学过分强调“演绎推理”的作用,甚至有“将数学窄化为演绎”的倾向。由于演绎是一种从一般规则推导出特例的推理方法,学生就总是先学概念、定理,然后再运用它们去解题。课堂上知识的建构往往被“听讲”所代替,学生看不到数学“生动活泼”的面孔,更没法享受“发现的乐趣”。张思明大胆地将立体几何的教学变成了学生的“发现之旅”,不仅使他们在一种兴奋的状态中接触了数学知识,而且初步了解了归纳、类比、猜想等对于日常生活和科学发现都极为重要的思维方法。

  当被问及“猜想”的教育价值,张思明不无感慨地说到:“数学上讲‘大胆推理,小心求证’。但中国人的毛病就是大胆的方面都已经退化了。学生刚刚说点自己的想法,就遭到‘棒杀’。小孩子把太阳画成蓝色的,老师就会批评他是色盲。孩子会说,从家里的彩色玻璃看出去,太阳就是蓝的;或是夏天的时候,太阳要是蓝的,人们该有多清爽啊。‘大胆猜想’的思维方式在中国人身上已经退化了,还是应该鼓励孩子们去想,特别是基础教育。想的时候要大胆,但求证的时候一定要认真,这就是一种数学意识。”

  在教学实践中,张思明还把这种想法渗透于习题课的教学之中,提出要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发。“要让学生自己提出猜想,这样,他就会有追求证明的渴望,此时的数学教学才最富有吸引力。”教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的点拨,而不要硬把他们赶上事先预设好的道路。只有这样,学生才能体验到猜想和发现的乐趣,才能真正提高提出问题和解决问题的能力。

数学另一面:猜想和发现

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